Mathematica求不定积分与函数作图

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　　Shareyourinterests，spreadhappiness，increaseyourknowledge，andstaygood。Hello，everyone。ThisisLearningYardAcademy。Today，theeditorbringsyouanarticle：Usingmathematicatofindindefiniteintegralsandmathematicafunctionmappingtutorial主题一：用mathematica求不定积分Topic1：Usingmathematicatofindindefiniteintegral
　　方法一：使用命令：Integrate〔f，x〕（其中为积分变量）
　　Method1：Usethecommand：Integrate〔f，x〕（whereistheintegralvariable）
　　方法二：直接用工具栏输入不定积分
　　Method2：Usethetoolbartoinputtheindefiniteintegraldirectly
　　案例展示Caseshow：
　　计算不定积分Calculateindefiniteintegral
　　答案Answer：
　　或者
　　小贴士：
　　Integrate命令在处理积分运算时会做两个假设。第一个假设即Mathematica假设除了积分变量之外其它符号都被作为常数处理。
　　第二个假设是Mathematica求得的积分结果是一个通式（genericform），积分结果可能在某些点不成立，这时Mathematica会告诉你
　　的标准结果，并且假设这一结果在哪些点不成立，如
　　假设n1。
　　积分变量不一定是单个的符号变量，也可以是一个函数如sinx
　　如果无法积分，Mathematica会保留积分的原式，若原式中含有常数系数，Mathematica会把常数系数提到积分之外，保留积不出来的表达式，如
　　Tips：
　　TheIntegratecommandmakestwoassumptionswhenprocessingintegraloperations。ThefirstassumptionisthatMathematicaassumesthatallsymbolsexcepttheintegralvariablearetreatedasconstants。
　　ThesecondhypothesisisthattheintegralresultobtainedbyMathematicaisagenericform，andtheintegralresultmaynotbevalidatsomepoints。Atthistime，Mathematicawilltellyouthestandardresultandassumethattheresultisnotvalidatwhichpoints。
　　Theintegralvariableisnotnecessarilyasinglesymbolicvariable，butcanalsobeafunctionsuchassinx。
　　Ifintegrationisnotpossible，Mathematicawillretaintheoriginalintegralformula。Iftheoriginalformulacontainsconstantcoefficients，Mathematicawilladdtheconstantcoefficientsoutsidetheintegralandretaintheexpressionsthatcannotbeintegrated。主题二：用Mathematica作函数图Topic2：UseMathematicatomakefunctiongraphs二维作图原理Principleoftwodimensionaldrawing
　　计算机在画函数图形时所用的基本方法类似于描点法。机器首先对所给的区间里的一定数量的点（通常取区间的均分点）计算函数值，并画出这些点（x，f（x）），然后依x的大小从小到大所对应的点用直线段连接成一条直线（实际上是一条折线），就把它作为函数在观察区内的图形
　　Thebasicmethodusedbythecomputertodrawfunctiongraphsissimilartothedotmethod。Themachinefirstcalculatesthevalueofthefunctionforacertainnumberofpointsinthegiveninterval（usuallytheaveragepointoftheinterval），anddrawsthesepoints（x，f（x）），andthencorrespondstothesizeofxfromsmalltolargeUsestraightlinesegmentstoconnectthepointsintoastraightline（actuallyapolyline），anduseitasafunctionofthegraphintheobservationarea。基本绘图命令PlotBasicdrawingcommandsPlot
　　Plot命令表达式中的可选项是对画图的细节提出的各种要求和设置，每个选项都有一个确定的名字和选项值以选项名选项值的形式放在Plot命令的最后位置，一次可设置多个选项，以逗号相隔依次排列。
　　TheoptionsinthePlotcommandexpressionarevariousrequirementsandsettingsforthedetailsofdrawing。EachoptionhasacertainnameandoptionvalueintheformofoptionnameoptionvalueinthelastpositionofthePlotcommand。Multipleoptionscanbesetatonetime，arrangedinorderwithcommasseparated。
　　可选项
　　说明
　　PlotRange
　　指定作图范围。默认值是Automatic。可用｛y1，y2｝的形式要求绘出坐标在〔y1，y2〕内的图形。
　　SpectRation
　　图形的高度与宽度的比例，默认值是黄金分割值0。618。如果要图形按实际情况显示，则需要设置为Automatic。
　　Axes
　　是否画出坐标轴以及设置坐标轴的原点位置。默认值是True。表示画出坐标轴；如果设置AxesNone，表示不画坐标轴；如果设置Axes｛x0，y0｝则设置坐标原点为〔x0，y0〕。
　　AxesLabel
　　设置坐标轴上的标记符号，默认值为None。表示不作标记。用AxesLabel字符串，字符串的形式定义轴的纵坐标和横坐标标记。
　　Ticks
　　设置坐标轴上刻度的位置，默认值是Automatic，表示由系统自动定位。用TicksNone表示不标坐标刻度；Ticks｛xi，yi｝规定x轴和y轴的刻度值；Ticks｛t1，t2，｝表示要在一个轴上按t1，t2，设置刻度。
　　PlotPoints
　　设置采样函数的点数，默认值是15。对于函数值变化剧烈的表达式，应设定较大的点数。
　　PlotStyle
　　指定曲线的样式，默认值为Automatic，取默认值时，图形为黑实线。可通过可选项改变曲线的样式。
　　DisplayFunction
　　用什么机制显示图形。默认值是DisplayFunction，可用Identity表示只生成图形，但是现在不显示。
　　案例展示Caseshow：
　　将函数
　　和ysinx的图像展示在一张纸上Displaytheimageofthefunctionandysinxonapieceofpaper。
　　答案Answer：
　　Out〔3〕Graphics
　　小贴士：
　　如果用Plot函数画两个或多个函数的图形，可以用PlotStyle为每条曲线设定一个不同方式，这时必须把描述一条曲线的项放在一个表里作为PlotStyle值的一个子表。
　　Tips：
　　IfyouusethePlotfunctiontodrawgraphsoftwoormorefunctions，youcanusePlotStyletosetadifferentmethodforeachcurve。Atthistime，youmustputtheitemdescribingacurveinatableasasubtableofthePlotStylevalue。
　　案例展示Caseshow：
　　分别用红、绿、蓝三种颜色画出
　　的图形Graphicsdrawninthreecolorsofred，greenandblue。
　　In〔7〕：Plot〔｛Sin〔x〕，Sin〔2x〕，Sin〔3x〕｝，｛x，0，2Pi｝，PlotStyle｛RGBColor〔1，0，0〕，
　　RGBColor〔0，1，0〕，RGBColor〔0，0，1〕｝〕
　　Out〔7〕Graphics
　　二维参数图Twodimensionalparameterdiagram
　　在二维平面内，有时无法将隐函数f（x，y）0化成yf（x）显函数的形式，所以无法使用Plot命令直接绘图。但是在某些情况下，可以把平面上的曲线f（x，y）0化成：xx（t），yy（t）的形式，其中变量t为方程式的参数（Parameter），而这个方程式则被称为参数方程（Parametricequation）。随着t的变化，我们可以在x，y平面上描绘出曲线的轨迹，所得的曲线称为参数图。Mathematica用ParametricPlot命令绘制二维参数图。它的使用形式有两种：
　　（1）ParametricPlot〔｛x（t），y（t）｝，｛t，下限，上限｝，可选项〕绘制二维参数图；
　　（2）ParametricPlot〔｛｛x1（t），y1（t）｝，｛x2（t），y2（t）｝，｝，｛t，下限，上限｝〕同时绘制多个参数图。
　　ParametricPlot接受与Plot一样的可选项，其作用也一样，但是PlotPoints选项的默认值为25。
　　Inthetwodimensionalplane，sometimesitisimpossibletoconverttheimplicitfunctionf（x，y）0intotheformofyf（x）explicitfunction，sothePlotcommandcannotbeusedtodrawdirectly。However，insomecases，thecurvef（x，y）0ontheplanecanbetransformedintotheform：xx（t），yy（t），wherethevariabletistheparameteroftheequation，Andthisequationiscalledaparametricequation（Parametricequation）。Withthechangeoft，wecandrawthetrajectoryofthecurveonthexandyplanes，andtheresultingcurveiscalledaparametricdiagram。MathematicausestheParametricPlotcommandtodrawatwodimensionalparametermap。Itcanbeusedintwoforms：
　　（1）ParametricPlot〔｛x（t），y（t）｝，｛t，lowerlimit，upperlimit｝，optional〕
　　（2）ParametricPlot〔｛｛x1（t），y1（t）｝，｛x2（t），y2（t）｝，｝，｛t，lowerlimit，upperlimit｝〕Drawmultipleparametergraphsatthesametime。
　　ParametricPlotacceptsthesameoptionsasPlot，anditseffectisthesame，butthedefaultvalueofthePlotPointsoptionis25。
　　案例展示Caseshow：
　　利用ParametricPlot命令画单位圆
　　（0t2pi）的图形
　　UsetheParametricPlotcommandtodrawthegraphoftheunitcircle（0t2pi）
　　答案Answer：
　　In〔1〕：ParametricPlot〔｛Sin〔t〕，Cos〔t〕｝，｛t，0，2Pi｝，AspectRatioAutomatic〕
　　Out〔1〕Graphics
　　极坐标作图Polarcoordinatemapping
　　Mathematica没有直接提供极坐标的绘图命令，我们只要把ParametricPlot稍做修改，就可以定义成极坐标的绘图命令。极坐标方程式可以写成
　　的形式，而极坐标上的点在xy直角坐标系统上的坐标，根据几何关系可以写成
　　因此，如果把ParametricPlot〔｛x，y｝，｛t，下限，上限｝〕命令中的x和y改成
　　则参数方程式的图形即为极坐标方程式的图形。现在我们定义PolarPlot极坐标绘图命令：
　　（1）PolarPlot〔r，｛t，下限，上限｝，可选项〕
　　（2）ParametricPlot〔｛rCos〔t〕，rSin〔t〕｝，｛t，下限，上限｝，可选项〕
　　Mathematicadoesnotdirectlyprovidepolarcoordinatedrawingcommands。WeonlyneedtomodifyParametricPlottodefineitaspolarcoordinatedrawingcommands。Thepolarcoordinateequationcanbewrittenintheform：
　　，andthecoordinatesofthepointonthepolarcoordinateinthexyrectangularcoordinatesystemcanbewrittenas
　　Therefore，ifyouchangethexandyas
　　intheParametricPlot〔｛x，y｝，｛t，lowerlimit，upperlimit｝〕command，thegraphoftheparametricequationisthegraphofthepolarcoordinateequation。
　　NowwedefinePolarPlotpolarcoordinatedrawingcommand：
　　（1）PolarPlot〔r，｛t，lowerlimit，upperlimit｝，optional〕
　　（2）ParametricPlot〔｛rCos〔t〕，rSin〔t〕｝，｛t，lowerlimit，upperlimit｝，optional〕平面数据作图Planedatamapping
　　Mathematica可以根据一组数据作出图形，使用的函数形式是ListPlot〔数据，可选项〕
　　Mathematicacanmakegraphsbasedonasetofdata，andthefunctionformusedis
　　ListPlot〔data，optional〕
　　可选项
　　说明
　　PlotJoined
　　是否用直线连接各点。默认值为False，可用True表示得到连接这些点的折线。
　　PlotStyle
　　所画的点或直线的类型，默认值为Automatic。
　　案例展示Caseshow：：
　　画数列
　　的前100项的散点图
　　Drawascatterplotofthefirst100itemsof
　　答案Answer：In〔2〕：tTable〔（11n）n，｛n，1，100｝〕；ListPlot〔t〕
　　Out〔2〕Graphics
　　图形的重新显示、组合和输出Redisplay，combinationandoutputofgraphics
　　案例展示：将yx2和yx的图形重新组合显示在图上
　　Caseshow：recombiningthegraphsofyx2andyxtodisplayonthegraph
　　答案Answer：In〔3〕：f1Plot〔x2，｛x，2，2｝〕；
　　f2Plot〔x，｛x，2，2｝〕；
　　Show〔f1，f2，PlotRange｛2，2｝，AspectRatioAutomatic，AxesLabel｛x，y｝〕
　　Out〔3〕Graphics
　　参考资料：网络
　　翻译：Google翻译
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